テイラー展開

目次


テイラーの定理

1変数の場合のテイラー展開

2変数の場合のテイラー展開

マクローリン展開


テストの前に

テスト

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テイラー展開
f(x) が |x-a| < R で無限回微分可能とする。 このときテイラーの定理によって、任意の自然数 n に対して

    f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + 1 f''(a)(x-a)2 + …
    2!
        +   1   fn-1(a)(x-a)n-1 + 1 fn(ξ)(x-a)n
    (n-1)! n!

    (a < ξ < x または a > ξ > x; |x-a| < R)

を満たす ξ が存在する。

ゆえに、もし

    1 fn(ξ) (x-a) → 0
    n!

    (n → ∞; |x-a| < R)

ならば、 f(x) はべき級数に展開でき、

    f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + 1 f''(a)(x-a)2
    2!
            + … + 1 fk(a)(x-a)k + …
    k!
        = Σ 1 fk(a)(x-a)k
    k=0 k!

となる。この式を関数 f(x) のテイラー展開という。


< 例 >
  1. ex = 1 + x + 1 x2 + … + 1 xn + …
    2! n!
  2. sin(x) = x - 1 x3 + 1 x5 + … + 1 (-1)n-1 x2n-1 + …
    3! 5! (2n-1)!
  3. cos(x) = 1 - 1 x2 + 1 x4 + … + 1 (-1)n x2n + …
    2! 4! (2n)!
  4. log(1+x) = x - 1 x2 + 1 x3 + … + 1 (-1)n-1 xn + …
    2 3 n
  5. (1 + x)a = 1 + ax + a(a-1) x2 + … + a(a-1)…(a-n+1) xn + …
    2! n!