線積分・ベクトルの積分

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線積分・ベクトルの積分 - ストークスの定理
ストークスの定理
S ⊆ R3 を曲面とする。 S は閉じた交わらない境界線 ∂S によって 2 つの面に区別できるものとし、一方の面を正、他方を負とする。 このとき関数 g: R2 ⊇ D → S で境界を表わすものとする。 また、 F = (F1, F2, F3) を V⊇S 上の C1 ベクトル場とする。 このとき

    F dg
    ∂S
    = ∫∫ (rot F(g), gu × gv) dudv
    S

となる。
 ここで rot F とは F の回転(rotation)といい、それは次のようなベクトル場である。
rot F =(∂F3/∂y - ∂F2/∂z, ∂F1/∂z - ∂F3/∂x, ∂F2/∂x - ∂F1/∂y)
rot F はまた curl F と書くこともある。rot F の点(x,y,z)における値(ベクトルである)は、その点の回りで F のベクトル場がどの位回転状態にあるかの度合いと、回転の向きを表している。向きは右ねじの法則で決まる。
ストークスの定理もまた、曲面上全体にわたる積分が、ある境界上だけの積分で与えられることを示している。