線積分・ベクトルの積分

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線積分・ベクトルの積分 - 面積分
面積分
関数

    ψ(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))

を領域 D (⊆R2) 上で定義された R3 空間の曲面 S を表しているとする。 また、 F を曲面 S 上の実数値関数とする。 このとき

    ∫∫ F(ψ(u, v)) |ψu × ψv| du dv
    D

.....(3.1)
を S 上での F の面積分と呼ぶ。


特に関数 F ≡ 1 の時は曲面 S の面積となる。

 この面積分がどのような意味があるか、説明する。まず、これは第1節で述べた線積分の概念の、平面への拡張になっていることに注意する。線積分では曲線が関数 g(.) で表せ、F がスカラー値の場合であるが次の形になった(比較のためg をψ に置き換えてある)。

    b F(ψ(t)) |ψ'(t)| dt
    a

|ψ'(t)| を |ψu × ψv| という式で置き換えると面積分の式(3.1) になる。g の微分が g のu,v に関する偏微分になり、かつ×の演算が入っている。
 線積分の場合の、曲線に沿った微小区間は「線素line element」と言うが、平面曲面の場合の微小区画を考えることができる。それは
 ψ(u2,u1)-ψ(u1,v1) というベクトルと、 ψ(u1,v2)-ψ(u1,v1) というベクトルで作られる矩形(実際は平行四辺形)である(下図)。

 この矩形の面積は「外積 exterior product」という概念を使って表せる。2つのベクトルa と b の外積はまたベクトルであり(a × b と書く)、その方向はaからbへ右ねじを回すようにしたときねじが進む方向である。またベクトルの長さはaとbが張る平行四辺形の面積である(下図)。

ベクトルの大きさは絶対値の記号|.| で書くから、上の微小区画は
 | (ψ(u2,u1)-ψ(u1,v1))×(ψ(u1,v2)-ψ(u1,v1)) |
と書けるが、更にこれは
= | (ψ(u2,u1)-ψ(u1,v1))/(u2-u1)×(ψ(u1,v2)-ψ(u1,v1))/(v2-v1) |・(u2-u1)・(v2-v1)
≒ | ψu × ψv| du dv ......(3.2)
となる。これはまさに平面上の微小区画を表す式で、(3.1)式の積分中に現れる量である。
 これを線素に対比して、「面素 area element」という。
 なおaとbの外積は、それぞれの成分を用いて次のように書ける。
  a×b = (a2・b3-a3・b2, -(a1・b3-a3・b1), (a1・b2-a2・b1)) 







なお上の式でe1,e2,e3 は考えている3次元空間の単位ベクトルである。
 これらが理解できれば、面積分が、曲面に沿って、その表面で定義された物理量などを積分することである、と理解できるだろう。


関数 f(r,t) = (r2, t2, sqr(2)rt) の領域 (0 ≦ r ≦ 1, 0 ≦ t ≦ 1) での面積.
このとき
    fr(r,t)=(2r, 0, sqr(2)t)
    ft(r,t)=(0, 2t, sqr(2)r)
    fr(r,t)×ft(r,t) =(-2sqr(2)t2, -2sqr(2)r2, 4rt)
    |fr(r,t)×ft(r,t)| = 2sqr(2t4+2r4+4r2t2)
      = 2sqr(2)sqr((t2+r2)2)
      = 2sqr(2)(t2+r2)
より
    S = ∫ 1 1 2sqr(2)(t2+r2) dtdr
    0 0
      = 2sqr(2)∫ 1 [ t3/3+r2t] 1 dr
    0 0
      = 2sqr(2)∫ 1 (1/3+r2) dr
    0
      = 2sqr(2)[r/3+r3/3] 1
    0
      = 4sqr(2)/3