線積分・ベクトルの積分

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線積分

グリーンの定理

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線積分・ベクトルの積分 - グリーンの定理
グリーンの定理 (平面におけるグリーンの定理)
B ⊆ R2 をその境界 ∂B が区分的に滑らかな閉曲線であるような領域とする。 また F = (P, Q) を閉集合 D (⊇ B ) 上の連続なベクトル場とする。 このとき

    F d(x, y)
    ∂B
    = P dx + Q dy
    ∂B
    = ∫∫ ( ∂P - ∂Q ) dx dy
    B ∂x ∂y

となる。

   この定理は、2次元のある領域内である関数を積分することは、その領域の境界上だけで関連の関数を積分すればよい、ということを表している。すなわち多くの場合積分が容易になる。例えば下の1.の中の例は円の面積を求めることが円の周長を求める問題に帰着できることを示している。  

  1. 領域 B の面積、∂P/∂x - ∂Q/∂x =1 となるように P,Q を選ぶと、P=x/2, Q=-y/2 が考えられる。従って

      A = ∬B dxdy

        = ∫∂B x/2dy

        + ∫∂B -y/2dx

        = 1 ∂B (-ydx + xdy)
      2


    < 例 >
    半径 r の円

      g(t) = (r cos(t), r sin(t)) = (x, y)

      0 ≦ t ≦ 2π


    で囲まれる領域の面積。

      g'(t) = (-r sin(t), r cos(t))
    したがって
      A = ∬B dxdy
        = 1 g(t) (x dy - y dx)
      2
        = 1 0(r cos(t)r cos(t) - r sin(t)(-r sin(t)))dt
      2
        = 1 r20dt
      2
        = r2 π

  2. B の幾何学的重心

      X = - 1 ∂B xy dx
      F
        = 1 ∂B x2 dy
      2F

      Y = 1 ∂B xy dx
      F
        = - 1 ∂B y2 dx
      2F