線積分・ベクトルの積分

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線積分・ベクトルの積分 - 線積分
定義
関数 g を区間 [a, b] で微分可能で、Rn 空間内の曲線を表すものとする。 また関数 F を関数 g 上で定義されたベクトル場とする。

このとき

    b (F(g(t)), g'(t)) dt
    a

  ...... (1)
を g 上の F の線積分という。

特に F がスカラー値をとるとき、線積分は

    b F(g(t)) |g'(t)| dt
    a

...... (2)
となる。ただし g(t) = (x(t), y(t)) のとき

    |g'(t)| = sqr((x'(t))2 + (y'(t))2)


 線積分(1)の物理的意味を考える。例えばある力 F が働いている空間の中で、単位質量の質点m を山のふもとから頂上へ力 F に逆らって、経路g(t) に沿って動かすとしよう(下図)。


 このときどれほどのエネルギーが必要か考える。今微小区間 ds=s2-s1 (いずれもベクトル)動かすとすると、力F(s2)のベクトルdsへの正射影(すなわち内積) (F(s2),s2-s1)を加えてゆくとそれが仕事、すなわち必要なエネルギーになる。

 (F(s2),s2-s1)=(F(g(t2)),(g(t2)-g(t1))/(t2-t1))×(t2-t1) ≒ (F(g(t),g'(t))dt

となり、これを加えてゆくことはまさに線積分(1)になる。

例 -- 半径 r のリングの長さ
この曲線は

    g(t) = (rcos(t), rsin(t))

    0 ≦ t ≦ 2pai


と表せる。このとき

    g'(t) = (-rsin(t), rcos(t))

    |g'(t)| = r sqr(sin2(t) + cos2(t))


より、その長さは

    L = ∫g ds

      = ∫02pai |g'(t)| dt

      = ∫02pai r dt

      = 2r pai


例 -- 半径 r のリングの質量
この曲線は

    g(t) = (rcos(t), rsin(t))

    0 ≦ t ≦ 2pai


と表せる。このとき g(t) における質量密度を

    f(g(t)) = 2rt

とすると。このリングの質量は

    M = ∫g f(g(t)) ds

      = ∫02pai f(g(t)) |g'(t)| dt

      = r202pai 2t dt

      = 4r2 pai^2


曲線 g(t)=(x(t),y(t))=(t,2t) (0≦t≦1), 密度関数 f(g(t))=x+y の質 量を求める.

仮定より

    f(g(t))=3t
    |g'(t)|=sqr(5)
よって
    M = ∫ f(g(t))|g'(t)|dt
    g
      = ∫ 1 3sqr(5) t dt
    0
      = 3sqr(5) [1/2 t2] 1
    0
      = (3sqr(5))/2