多重積分

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多重積分の性質1

多重積分の性質2

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多重積分の性質
多重積分の性質
D を xy平面上の集合とするとき次が成り立つ。 ただし、f(x, y) と g(x, y) は D 上の関数、 k と l は定数とする。

  1. D (kf(x、y) + lg(x, y)) dxdy = k∬D f(x, y) dxdy + l∬Dg(x, y) dxdy

  2. D = D1 ∪ D2 かつ D = D1 ∩ D2 = 0 ならば

      D f(x, y) dxdy = ∬D1 f(x, y) dxdy + ∬D2 f(x, y) dxdy

  3. D で常に f(x, y) ≦ g(x, y) ならば

      D f(x, y) dxdy ≦ ∬D g(x, y) dxdy

  4. |∬Df(x, y) dxdy| ≦ ∬D |f(x, y)| dxdy

  5. f(x, y)=1 とすると

      D f(x, y) dxdy
    は D の面積 A(D) となる。

  6. D における f(x, y) の最大値を M 最小値を m とすると

      mA(D) ≦ ∬D f(x, y) dxdy ≦ M A(D)