多重積分

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多重積分の性質1

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多重積分の性質 - 矩形上の 2重積分の計算法
矩形上の 2重積分の計算法
K を長方形領域 a ≦ x ≦ b, c ≦ y ≦ d とするとき 関数 f(x, y) の重積分は

    k f(x, y) dxdy = cdab f(x, y) dxdy
    = abcd f(x, y) dydx

となる。

この中の式

    b f(x, y) dx
     
    a

は関数 f(x, y) の y を定数とみなして x について積分したものである。 その結果は一般に変数 y を含むから、 yの関数になる。 この関数を g(y) とおくと

    d b f(x, y) dxdy
    c a
      = ∫ b g(y) dy
    a

が求める 2重積分となる。また x と y の順序を交換しても同様である。

このように、 1つの変数に関して積分した結果をさらに他の変数に関して積分することを累次積分という。


関数 f(x, y) = x+y の領域 K (0 ≦ x ≦ 1, 1 ≦ y ≦ 2) における重積分は

    ∫∫   f(x, y)dxdy
    K
      = ∫ 2 1 (x+y) dxdy
    1 0
      = ∫ 2 [ (x2)/2 + yx] 1 dy
    1 0
      = ∫ 2 (1/2 + y) dy
    1
      = [y/2 + (y2)/2] 2
    1

      = (1+2) - (1/2+1/2)

      = 2

 次のリンクは多重積分を累次積分に直す例です。
累次積分に直す例