パラメータ表示関数の積分

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曲線の長さ

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パラメータ表示関数の積分
曲線の長さ
< 定義 > 曲線の長さ
関数 y = f(x) の a ≦ x ≦ b における線分 AB (A=(a,f(a)), B=(b, f(b)) を考える。 このとき、区間 [a, b] を n 個の分点

    a = x0 < x1 < x0 < …… < xn-1 < xn = b

によって分割し、

    Pi = (xi, f(xi))
    (i=0, 1, ……, n)

とする。
ここで、区間 [a, b]の分割を限りなく小さくしたとき(nの値を限りなく大きくしたとき)、折れ線の長さ

    Σ(Pi - Pi-1)

の極限が存在するならば、その極限値 s を曲線 f(x) の A から B までの長さという。


< 定理 >
関数 f(x) が区間 [a, b] で連続な導関数をもつとき、区間 [a, b] における曲線の長さは

    s = ∫ a sqr(1 + (f'(x))2)dx
    b

で与えられる(f にダッシ(’)がついているので注意. また sqr は平方根のこと)。


この場合次の積分公式を使うと良い。

    ∫sqr(a2 + u2) du
    = 1 u sqr(a2 + u2) + 1 a2 log(u + sqr(a2 + u2)) + C
    2 2

また、関数 y = f(x) において x と y が t の関数であらわされ、a≦ t ≦ b のとき、曲線の長さは

    s = ∫ b sqr((x'(t))2 + (y'(t))2) dt
    a

で与えられる。


例1
関数 f(x)=2x の区間 0 ≦ x ≦ 2 での長さは

    f'(x) = 2

なので
    s = ∫ 2 sqr(1 + (f'(x))2)dx
    0
      = ∫ 2 sqr(1 + 22)dx
    0
      = ∫ 2 sqr(5)dx
    0
      = sqr(5)[x] 2
    0
      = 2sqrt(5)
となる.


例2
関数 y=-2t, x=t の区間 0 ≦ t ≦ 2 での長さは

    x'=1
    y'=-2

なので
    s = ∫ 2 sqr(x'2+y'2))dx
    0
      = ∫ 2 sqr(1 + (-2)2)dx
    0
      = ∫ 2 sqr(5)dx
    0
      = sqr(5)[x] 2
    0
      = 2sqrt(5)
となる.


例3
関数 y=1-cos t, x=t-sin t の区間 0 ≦ t ≦ 2π での長さは

    x'=1- cos t
    y'=sin t

なので
    s = ∫ sqr(x'2+y'2))dt
    0
      = ∫ sqr((1-cos t)2+ (sin t)2)dt
    0
      = ∫ sqr(2-2cos t)dt
    0
      = ∫ sqr(2-2(cos2 (t/2)-sin2 (t/2))dt
    0
      = ∫ sqr(4sin2(t/2))dt
    0
      = ∫ 2|sin (t/2)|dt
    0
      = ∫ π 4|sin s|ds
    0
      = ∫ π 4sin s ds
    0
      = -4[cos s] π
    0
      = 8
となる.



極座標表示での曲線の長さ
関数 r = f(θ) について r' = f'(θ) が連続とする。 このとき区間 a ≦ θ ≦ b での曲線の長さは

    s = ∫ b sqr(r2 + (r')2) dθ
    a

で与えられる。