積分の定義

目次


積分の定義

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複雑な関数の積分 - 積分とは
積分とは
関数 F(x) が微分可能であり

    d F(x) = f(x)
    dx

のとき, F(x) を f(x) の不定積分または原始関数といい

    F(x) = ∫f(x) dx

と表す。このとき f(x) をこの不定積分の被積分関数という。またこのようなF(x)が存在するとき f(x) を積分可能である、または可積分である、という。

F(x) が f(x) の不定積分で、C が定数のとき

    d (F(x) + C) = f(x)
    dx

であるので、F(x) + C も f(x) の不定積分である。反対に f(x) がある区間 I で定義された関数で、F(x) と G(x) が共に f(x) の不定積分ならば、 G(x) = F(x) + C となる定数 C が存在する。
よって関数の不定積分が存在するならば、定数の差を除いてただ1つである。 2つの不定積分の差である定数 C を積分定数という。

関数 f(x) の不定積分を違った計算方法で求めると、たかだか積分定数の差の違いで本質的には同じであるのに、見かけは全く異なることはよくあることである。 以下、不定積分の計算においては積分定数は省略する。

関数 f(x) を連続な関数とし、その原始関数の1つを G(x) とすると

    G(b) - G(a) = ∫ab f(x) dx

となる。