置換積分

目次


積分の定義

基本性質

部分積分

置換積分

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複雑な関数の積分 - 置換積分
置換積分
関数 f(x) は有界閉区間 I1 上で連続とし、関数 g(x) は有界閉区間 I2 上で微分可能で g'(x) が連続とする。さらに s∈I2 ならば x = g(s) ∈ I1 とする。
このとき任意の a,b ∈ I2 に対して

    g(a)g(b) f(x) dx = ∫ab f(g(x))g'(x) dx


例: I=∫311 sqr(2x+3)dx を求めよ。ここに sqr(z) は √z を表すものとする。

解) f(x)=sqr(2x+3), g(x)=(x-3)/2 とする。このとき、
   f(g(x)) =sqr(2(g(x))+3)
       =sqr((x-3)+3)=sqr(x)
である(このようにf(g(x))が簡単な形になるようg(x)を選んだ)。
g'(x)=1/2, 3=g(9), 11=g(25) だから
I=∫925(sqr(x)*(1/2)) dx   (1)
=(1/2)*[2/3*x^(3/2)] 925
=(1/3)*(25^(3/2)-9^(3/2)) = (1/3)*(5^3-3^3)=(125-27)/3=98/3
となる。
 ここでs(x)=2x+3 の逆関数がgになっているので、もっと簡便に置換積分を行う方法がある。
s(x) の式から ds/dx=2 なので、dx=(1/2)ds となり、この式を用いて積分の変数をx からs に換えてしまう。 そして積分範囲は s(3)=9, s(11)=25。
よって与式のdxを (1/2)ds で置き換えると、

 I = ∫925sqr(s)(1/2) ds

これは(1)式と同じなので(積分変数はどのような文字を使っても結果は同じ)、
 = 98/3
で、同じ答えを得る。