部分積分

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部分積分

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複雑な関数の積分 - 部分積分
部分積分
関数 f(x) と g(x) が連続で、その1階の導関数も連続とすると次がなりたつ。

    ab f'(x)g(x) dx = [f(x)g(x)]ab - ∫ab f(x)g'(x) dx


< 例 >
関数
    01 xex dx
において
    f'(x) = ex
    g(x) = x
と考えると
    f(x) = ex
    g'(x) = 1
である。よって、
    01 xex dx
    = ∫01 f'(x)g(x) dx
    = [f(x)g(x)]01 - ∫01 f(x)g'(x) dx
    = [xex]01 - ∫01 ex dx
    = (e - 0) - [ex]01
    = e - (e - 1)
    = 1
となる。