多変数関数の微分2

目次


合成関数の微分

2変数関数の極大、極小

極値の判定法

極値問題


テスト

Logをみる

Back

多変数関数の微分2 - 極値問題
極値問題
関数 f に対して、その極値を求める問題や極値かどうかを判定する問題を極値問題という。

< 例 >
関数 f(x,y) = x3 + y3 - 3xy の極値を求める。 導関数は
    fx(x,y) = 3x2 - 3y
    fy(x,y) = 3y2 - 3x
    fxx(x,y) = 6x
    fxy(x,y) = fyx(x,y) = -3
    fyy(x,y) = 6y
よって停留点は
    { 3x2 - 3y = 0
    3y2 - 3x = 0
より
    (0, 0), (1, 1)
であり、
    fxx(0, 0) = 0
    fxx(1, 1) = 6
さらに
    H(x, y) = fxxfyy - fxy2 = 36xy - 9
よって
    H(0, 0) = -9
    H(1, 1) = 27
以上により関数 f(x,y) は点 (1, 1) で極小値 -1 をとる。