多変数関数の微分2

目次


合成関数の微分

2変数関数の極大、極小

極値の判定

極値問題


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多変数関数の微分2 - 極値の判定
極値の判定
関数 f(x,y) が連続な2階の導関数をもつとする。 また、(x0, y0) を関数 f(x,y) の停留点(fx(x0, y0)=0 かつ  fy(x0, y0)=0 となる点)とする。 さらに、

    H = fxxfyy - fxy2 = | fxx fxy |
    fyx fyy

とおく。 このとき点 (x0, y0) について次が成り立つ。
  1. H(x0, y0) > 0 かつ fxx(x0, y0) > 0 ならば 関数 f(x,y) は (x0, y0) で極小
  2. H(x0, y0) > 0 かつ fxx(x0, y0) < 0 ならば 関数 f(x,y) は (x0, y0) で極大
  3. H(x0, y0) < 0 ならば 関数 f(x,y) は (x0, y0) で極値をとらない