多変数関数の微分2

目次


合成関数の微分

2変数関数の極大、極小

極値の判定法

極値問題


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多変数関数の微分2 - 合成関数の微分
合成関数の微分
2つの関数 f(x,y) と g(x,y) がそれぞれ (x0, y0) で 微分可能とし、 f0 = f(x0, y0), g0 = g(x0, y0) とします。
このとき関数 F(f, g) が (f0, g0) で微分可能ならば、 合成関数 z = ψ(x, y) = F(f(x, y), g(x, y)) は (x0, y0) で微分可能です。

 前章の全微分の式はdz を表すもので、dz/dt の形で使われると説明しましたが、Ψが2変数の関数の場合、それぞれの変数に関する偏微分∂Ψ/∂x, ∂Ψ/∂xの形でも成立します(偏微分は他方の変数を定数とみる通常の微分と同じだから)。すなわち、

    ∂ψ = ∂F ∂f + ∂F ∂g
    ∂x ∂f ∂x ∂g ∂x
    ∂ψ = ∂F ∂f + ∂F ∂g
    ∂y ∂f ∂y ∂g ∂y

が成立します。

< 例 >
z = ψ(f, g) = F(f(s,t), g(s,t)) = fg とし、 f(t) = cos(s)+sin(t), g(t) = sin(s)+cos(t) とすると、

    ∂f = cos(t)
    ∂t
    ∂g = -sin(t)
    ∂t
なので
    ∂z/∂t
    = ∂F ∂f + ∂F ∂g
    ∂f ∂t ∂g ∂t
     
    = g cos(t) - f sin(t)
    =(sin(s)+cos(t))cos(t) -(cos(s)+sin(t))sin(t)
     
    = sin(s-t)+cos2(t) - sin2(t)

となる。