高階偏導関数

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高階偏導関数


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関数 f(x,y) の偏導関数 fx(x,y), fy(x,y) は x と y の関数でありこれらがさらに偏微分可能なことがある。 そのとき fx(x,y), fy(x,y) の x,y による偏微分をそれぞれ
    fxx, fyx
    fxy, fyy
または
    2f , 2f
    ――― ───
    ∂x2 ∂y∂x

    2f , 2f
    ――― ───
    ∂x∂y ∂y2
のように表す。これらを関数 f(x,y) の2階偏導関数という。

これらの2階偏導関数が偏微分可能であればさらに偏微分して3階偏導関数を求めることができる。このように関数 f(x,y) を n 回偏微分して得られる偏導関数を n 階偏導関数といい、またこれらを総称して高階偏導関数という。

< 例 >
f(x, y) = sin 2x + cos 3y + x2yとすると。
    fxx(x,y) = -4sin 2x + 2y
    fxy(x,y) = 2x
    fyx(x,y) = 2x
    fyy(x,y) = -9cos 3y
となる。