偏微分

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2変数の関数

偏微分

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高階偏導関数


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 関数 z = f(x,y) において、y を一定値 b に固定すれば、z=f(x,b) となる。こうすると z は x だけの関数になる。
 この関数の x=a のときの微係数、
   lim h→0 (f(a+h,b)-f(a,b))/h
が存在するとし、この極限値を A(a,b) としたとき、これを関数 f(x,y) の x についての(点(a,b) における)偏微分係数といい、記号 fx(a,b) で表す。
 同様に、x を一定値 a に固定すれば、 z=f(a,y) と書けるが、これの y についての微分を、y についての(点(a,b) における)偏微分係数といい、fy(a,b) と書く。
 a,b を変数としたときは、それぞれ
 fx(x,y), fy(x,y)
または変数を省略して
 fx, fy
と書き、xについての偏導関数yについての偏導関数という。
 またそれぞれの偏導関数は次のような書き方もする。
    ∂f
 fx = ――― = ∂xf
    ∂x

    ∂f
 fy = ――― = ∂yf
    ∂y

また偏導関数fx の点(a,b) における値(f(x,y) の x についての点(a,b) における偏微分係数)は fx(a,b) と書けるが

       ∂f  |
 fx(a,b) = ―――|
       ∂x  |x=a,y=b

のような書き方をすることもある。


例1 f(x,y)=x^2 + xy +y^2 について fx および fy を求めよ(x^2はxの2乗)。

解)fx は式 f(x,y)=x^2 + xy +y^2 において y を定数と考えて、x について通常の微分を行えばよい。すなわち、
    fx = 2x+y
同様に
    fy = x+2y


例2 f(x,y)=x^3 + 2xy +y^2 について fx(2,3) を求めよ。

解)fx=3x^2+2y

だから、
fx(2,3) = 3*2^2+2*3 =12+6 =18
となる。