ベクトルとは

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ベクトルとは

ベクトルの微分

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ベクトルの性質 xy 軸上の物体の位置は x 座標と y 座標の2つの要素で表現できます。 物体がある座標 A=(ax, ay) から座標 B=(bx, by) へ移動したとすると、その物体の変位は A から B への向きと長さで表され、この量をベクトルと呼びます。 この時のベクトル B - Aは
    B-A = (bx-ax, by-ay)

となります。 特に原点を始点としたときは、終点の座標がベクトルの各成分と同じになります。 また、3つの要素から成るベクトルは3次元ベクトルと呼びます。一般に、n個の要素から成るn次元ベクトルというものを考えることができます。

ベクトルの演算
ベクトル A = (a1, a2, … , an), B =(b1, b2, …, bn) とスカラー c に対して
  1. A + B = (a1+b1, a2+b2, …, an+bn)
  2. -A = (-a1, -a2, ・・・, -an)
  3. A - B = (a1-b1, a2-b2, …, an-bn)
  4. cA = (ca1, ca2, ・・・, can)
  5. ||A|| = sqr(a1^2 + a2^2 + … + an^2) これを ベクトルのノルムという。絶対値の拡張概念である。
が成り立つ。

内積(スカラー積)
ベクトル A = (a1, a2, … , an), B =(b1, b2, …, bn) とこの2つのベクトルがなす角をθとすると A と B の内積 (A,B) は次のように定義される。

    (A,B) = ||A|| ||B|| cosθ = a1b1+a2b2+ … +anbn

内積には次のような性質がある。

  1. 0 < (A,B) ならば 0 < θ < 90°
  2. 0 = (A,B) ならば 0 θ = 90°
  3. (A,B) < 0 ならば 90° < θ < 180°

内積の物理的意味はある物体 x の物理量とある物体 y の物理量の似ている程度を表す。また力学的には仕事(xという力でy方向に ||y|| だけ物体を動かしたときのエネルギー)を表している。

外積(ベクトル積)
ベクトル A = (ax, ay, az), B =(bx, by, bz) とこの2つのベクトルがなす角をθとすると A と B の外積

    A*B = (aybz - azby, azbx - axbz, axby - aybx)

は次のように定義される。

  • 外積 A*B の向きは A から B 方向に右ネジを回したときにネジが進む向きで、ベクトル A, B に垂直。 外積 A*B の長さは

      ||A|| ||B|| sinθ

    すなわち、ベクトル A, B によって作られる平行四辺形の面積等しい。

    外積には次のような性質がある。

    1. 外積の長さは2つのベクトルの作る平行四辺形の面積に等しいのでベクトル A, B が平行であるときに限り

        A*B =0

    2. 2つのベクトル A と B の外積 A*B と B*A はその長さは等しいが、方向は逆になる。

        A*B = -(B*A)