ベクトル値関数

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ベクトルとは

ベクトルの微分

ベクトル値関数


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ある物体が xy 座標を時間とともに移動するときその座標の原点を始点とする座標ベクトルで表すことにします。
このとき時刻 t における物体の座標を
    f(t) = (rx(t), ry(t))
時刻 t+h における物体の座標を
    f(t+h) = (rx(t+h), ry(t+h))
とします。このようにベクトルを値としてもつ関数をベクトル値関数といいます。

この関数において時間が t から h だけ変化したときの変化量は
    f(t+h) - f(t)
    h
    = (rx(t+h), ry(t+h)) - (rx(t), ry(t))
    h
となります。ベクトルの演算を使って変形しますとこの式は
    ( (rx(t+h) - rx(t)) , (ry(t+h) - ry(t)) )
    h h
となります。ここで通常の微分と同じように h → 0 としますと、 各座標成分を時間 t で微分したものを要素とするベクトル
    f'(t) = (rx' (t), ry' (t))
が得られ、これを速度ベクトルと呼びます。
このように関数をその要素としてもつようなベクトルについてもスカラーと同様な性質が成り立ちます。

<例>
xy 平面上を移動する物体を考えます。
このとき、時刻 t での物体の位(座標)を
    R(t) = (rx(t), ry(t))
とすると、このベクトル値関数の微分
    V(t) = R'(t) = (rx'(t), ry'(t))
は物体の速度を表します。さらに、この速度の微分
    A(t) = V'(t) = R"(t) = (rx"(t), ry"(t))
は物体の加速度を表しています。

  B,C を時間に対して一定のベクトルとします。またa,b をスカラー(実数のこと) とします。すると

  (aV)' = aA

  (aR+bV)' = aV +bA

  (R+B)' = (R(t)+B)' = R(t)' +B' =R(t)' +0 =V(t) =V

  などがいえます。変数t は適宜省略しています。また(R,B)をベクトルR とベクトル B の内積としますと、

  ((R,B)C)' =(R,B)'C +(R,B)C' = ((R',B)+(R,B'))C +(R,B)0
  = ((V,B)+(R,0))C+0
  = ((V,B)+0)C
  = (V,B)C

となります。ここで前節のベクトルの微分に関する公式をいくつか使っています。 また時間に対し一定のベクトルの微分は0なること、および0ベクトルとの 内積はまた0であることも使っています。