ベクトルの微分

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ベクトルとは

ベクトルの微分

ベクトル値関数


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ベクトルとして、その要素が関数であるものを考えます。
そのようなベクトルの微分はそれぞれの要素を微分して得られるベクトルになります。
例えば関数 f(x) と g(x) をその要素にもつベクトル

    A(x) = (f(x), g(x))

を考えると、この微分は

    A'(x) = (f'(x), g'(x))

となります。

このことから次のことが導かれます。

    A(x) と B(x) は関数をその要素にもつベクトル、 C を定数ベクトル、a を定数、f(x) をあるスカラー値関数とすると
    1. (aA(x))' = aA'(x)
      (A(x)+B(x))' = A'(x)+B'(x)
    2. (A(x), B(x))' = (A'(x), B(x)) + (A(x), B'(x))
    3. (f(x)A(x))' = f'(x)A(x) + f(x)A'(x)
    4. (a)' = 0
      C' = 0
< 例1 >
関数 f(x) = sin x, g(x) = cos x, h(x) = ex を要素にもつベクトル
    F(x) = (f(x), g(x), h(x)) = (sin x, cos x, ex)
の微分は
    F' = (f'(x), g'(x), h'(x)) = (cos x, -sin x, ex)
となります。
< 例2 >
関数 f(x) = sin x, g(x) = cos x を要素にもつベクトル
    5F(x) = 5(f(x), g(x)) = 5(sin x, cos x) = (5sin x, 5cos x)
の微分は
    (5F(x))' = ((5sin x)', (5cos x)') = (5cos x, -5sin x) = 5(cos x, -sin x)
となります。