極値問題

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極値問題

条件付き
極値問題

ラグランジュの
乗数法

テスト1

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極値問題
関数 f(x, y) が点 A = (a, b) の近くで定義されており、点 A の近くの任意の点 P = (x, y) に対して

    f(A) > f(P)

が成り立つとき、関数 f(x, y) は点 A で極大になるといい、その値 f(A) を極大値という。反対に、

    f(A) < f(P)

が成り立つとき、関数 f(x, y) は点 A で極小になるといい、その値 f(A) を極小値という。極大値と極小値をあわせて極値という。


関数 f(x, y) が 1点 A = (a, b) で極値をとるとき、f(x、y) を 1 変数の関数とみると関数 f(x, b) は x = a で極値をとり、関数 f(a, y) は y = b で極値をとる。 したがって点 A = (a, b) は

    fx (x, y) = 0

    fy (x, y) = 0


の解である。

極値の判定
関数 f(x, y) に対して

    fx (x, y) = 0

    fy (x, y) = 0

    A = fxx (a, b)

    B = fxy (a, b)

    C = fyy (a, b)

    D = B2 - AC


とする。 このとき

  1. A < 0, D < 0 ならば f(a, b) は極大値
  2. A > 0, D < 0 ならば f(a, b) は極小値
  3. D > 0 ならば f(a, b) は極値ではない

となる。

ただし、 D = B2 - AC = 0 のときは、 f(a, b) が極値のときもそうでないこともある。

例 

f(x,y)=x^2+2x+y^2 のとき、極大値または 極小値があればそれを求めよ。

解)fx=2x+2
fy=2y
よって
fx=0 となるのは x=-1
fy=0 となるのは y=0
 このとき、
A=fxx=2
B=fxy=0
C=fyy=2
従って
D=B^2-AC=-4 <0
点(-1,0)で、fx=0 かつ fy=0 で、
A>0,D<0 だから 極小値 -1 になる (テストでは fmin(-1,0)=-1 と入力する)。