1階偏微分方程式の標準形

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1階偏微分方程式の標準形
1階偏微分方程式であって、それぞれ特別な操作によって積分できる形のものを偏微分方程式の標準形と呼ぶ。 標準形には次のものがある。

  1. f(p, q) = 0
    完全解は

      z = ax + by + c

    で与えられる。ただし、 a, b, c は定数で f(a, b) = 0 とする。
    さらに、 f(a, b) = 0 を b について解き、 b = φ(a) とすると

      z = ax + by + c

    であらわされる。
    また、ψ を a の任意の関数とし c に代入すると

      z = ax + φ(a) + ψ(a)

    これを a で偏微分すると

      0 = x + φ'(a) + ψ'(a)

    となる。この式から a を消去すると一般解が得られる。

  2. f(x, p, q) = 0   ( f ≠ 0 )
    ∂p

    q = a (定数)とおき、 q を x の任意関数とすると

      z = g(x) + ay
      p = g'(x)
      f(z, p, q) = f(x, g'(x), a) = 0

    これを g'(x) について解くと

      g'(x) = F(x, a)
      g(x) = ∫F(x, a)dx + b

    ただし b は定数。よって完全解は

      z = ∫F(x, a)dx + b + ay

  3. f(y, p, q) = 0   ( f ≠ 0 )
    ∂q

    これは 2 の方法と同様にして求められる。
  4. f(z, p, q) = 0
    ξ = x + ay (a は定数)とおき、 z を ξ だけの関数と仮定すると

      p = ∂z = dz ∂ξ = dz
      ∂x ∂x
      q = ∂z = dz ∂ξ = dz
      ∂y ∂y

    となる。これらを偏微分方程式に代入すると

      f(z, dz , a dz ) = 0

    この式を

      dz

    について解いたものを

      dz = F(z, a)

    とおき、 F(z, a) ≠ 0 と仮定すると

      dξ = dz
      F(z, a)

    積分して

      ξ + b = ∫ dz
      F(z, a)

    ξ を消去すると

      x + ay + b = ∫ dz
      F(z, a)

    となる。

  5. f(x, p) = g(y, q)     (変数分離形)
    ただし、左辺は実際に p を含み、右辺は実際に q を含むものとする。

      f(x, p) = g(y, q) = a

    と仮定する。これをそれぞれ p, q について解いたものを

      p = P(x, a)

      q = Q(y, a)


    とすると

      dz = pdx + qdy
          = P(x, a)dx + Q(y, b)dy

    これを積分すると

      z = ∫P(x, a)dx + ∫Q(y, b)dy + b

    となり、これは完全解である。

  6. z = px + qy + f(p, q)

    この形の偏微分方程式の完全解は

      z = ax + by + f(a, b)

    特異解は

      { z = ax + by + f(a, b)
      0 = x + f
      ∂a
      0 = y + f
      ∂b

    で与えられる。

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