解の分類

目次

解の分類

1階準線形
微分方程式

幾何学的解釈

1階偏微分方程式の
標準形

テストの前に

テスト1

Logをみる

Back
 

解の分類
ここで p, q は次のものとして用います

    p = ∂z
    ∂x

    q = ∂z
    ∂y


変数 z が独立変数 x と y の関数であるとき、 x, y, z および z の x, y に関する r 階およびそれ以下の偏導関数の間の関係を与える方程式を r 階偏微分方程式という。

1階偏微分方程式の解には、完全解、特異解、一般解がある。


1階偏微分方程式

    z2 ( p2 + q2 + 1) = 1       (1)

は a, b を任意定数として解

    (x - a)2 + (y - b)2 + z2 = 1       (2)

をもつ。


これを確かめてみる。まず式 (2) を x および y で偏微分すると

    2(x - a) + 2zp = 0

    2(y - b) + 2zq = 0


であり、これを式 (2) に代入すると式 (1) を得る。

この解のように、2 個の独立な任意定数を含む解を完全解という。


また

    z2 = 1

は明らかに式 (1) の解である。これは完全解を任意定数 a, b について偏微分した式

    -2(x - a) = 0

    -2(y - b) = 0


で完全解から任意定数 a, b を消去して得られる。このような解を特異解という。


さらに、1つの任意関数を含む解を一般解という。 たとえば、偏微分方程式

    P = ∂z = 0
    ∂x

は任意の関数 z = f(y) が解である。 したがって

    z = f(y)

は偏微分方程式

    p = 0

の一般解である。
--->