1階準線形微分方程式

目次

解の分類

1階準線形
微分方程式

幾何学的解釈

1階偏微分方程式の
標準形

テストの前に

テスト1

Logをみる

Back
 

1階準線形微分方程式
ここで p, q は次のものとして用います

    p = ∂z
    ∂x

    q = ∂z
    ∂y


    P(x, y, z)p + Q(x, y, z)q = R(x, y, z)        (1)

の形の偏微分方程式を Lagrange の微分方程式、または1階準線形微分方程式という。

連立常微分方程式

    dx = dy = dz      (2)
    P Q R
の 2 つの独立な積分 u(x, y, z) と v(x, y, z) を求めると、任意の関数 φ に対して、

    u = φ(v)

が式 (1) の一般解となる。これは任意の関数 F(u, v) = 0 が一般解であることとおなじである。式 (2) を式 (1) の補助方程式と呼ぶ。


< 例 >
微分方程式

    (x + y)p + (y - x)q = z

を解く。

補助方程式は

    dx     =   dy     =   dz  
    y + x y - x z
また
xdx  = x(y+x)dz
z
  ....... (3)
ydy  = y(y-x)dz
z
  ....... (4)
から
xdx + ydy =   (x2+y2) dz
z
よって
dz     =   ( xdx + ydy )
z x2 + y2

(3)と(4)から y'=dy/dx を使って

    y' = y - x
    y + x

これは同次微分方程式なので y = xv とおくと

    v + xv' = v - 1
    v + 1

したがって

    dx   +   v + 1 dv = 0
    x v2 + 1

積分して変数を戻すと

    log(sqrt(x2 + y2)) + tan(-1) y = a
    x

また

    dz = xdx + ydy
    z x2 + y2

から

            z         = b
    sqrt(x2 + y2)

よって

    F( log(sqrt(x2 + y2)) + tan(-1) y ,           z           ) = 0
    x sqrt(x2 + y2)

--->