変形分離形

目次

微分方程式とは

変数分離形

同次形

1階線形微分方程式

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変数分離形
一般に、関数 p(x), q(y) に対して

    dy = p(x)q(y)
    dx

の形の微分方程式を(xとyについての)変数分離形という。

この形の微分方程式は、その右辺が x だけの関数 p(x) と、y だけの関数 q(y) との積であることを利用して次のように解く。


まず両辺を q(y) で割り、変数を分離する

      1   dy = p(x)
    q(y) dx

次に両辺を x で積分し、左辺に置換積分を適用すると

      1   dy = ∫ p(x) dx + c
    q(y)
    (c は任意定数)

となり、これが求める一般解の陰関数表示となる。


< 例 >
次の微分方程式を解いてみる

    x' = ax(1-x)

これは g(t) = a の定数値関数と考えると変数分離形のになる。 よって

      dx   = at + c
    x(1 - x)

左辺を積分すると
      dx   = ∫( 1 +   1   )dx
    x(1 - x) x 1 - x
        = log |   x   |
    1 - x

よって

    log |   x   | = at + c
    1 - x

これを x について解くと

    x =   1  
    1 + Ce-at

ただし

    C = ±ec
とする。

また

    x(1 - x)

の根 x = 0 と x = 1 は定数解となる。

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