変形分離形

目次

微分方程式とは

変数分離形

同次形

１階線形微分方程式

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変数分離形

一般に、関数 p(x), q(y) に対して

dy	= p(x)q(y)
dx

の形の微分方程式を(xとyについての)変数分離形という。

この形の微分方程式は、その右辺が x だけの関数 p(x) と、y だけの関数 q(y) との積であることを利用して次のように解く。

まず両辺を q(y) で割り、変数を分離する

1	dy	= p(x)
q(y)	dx

次に両辺を x で積分し、左辺に置換積分を適用すると

∫	1	dy	=	∫ p(x) dx + c
	q(y)

(c は任意定数)

となり、これが求める一般解の陰関数表示となる。

< 例 >

次の微分方程式を解いてみる

x' = ax(1-x)

これは g(t) = a の定数値関数と考えると変数分離形のになる。 よって

dx	= at + c
x(1 - x)

左辺を積分すると

∫	dx	= ∫(	1	+	1	)dx
	x(1 - x)		x		1 - x

= log |	x	|
	1 - x

よって

log |	x	| = at + c
	1 - x

これを x について解くと

x =	1
	1 + Ce-at

ただし

C = ±e^c

とする。

また

x(1 - x)

の根 x = 0 と x = 1 は定数解となる。