1階線形微分方程式

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1階線形微分方程式
関数 P(x), Q(y) を連続関数とすると

    dy + P(x)y = Q(x)
    dx

の形の1階微分方程式は線形であるという。 線形微分方程式の一般解は次の式で与えられる

    y = e -∫P(x)dx { ∫Q(x) e ∫P(x)dx dx + c }


例題 次の微分方程式を解け。
   dy
 x ―― + 4y = x-4
   dx
解: 両辺をxで割ると、線形になることがわかる。
P(x)=4/x, Q(x)=x^(-5) である。
∫P(x)dx=∫4/xdx=4log(x),
e∫P(x)dx =e4log(x)=x^4 である。
 従って、公式より、y=(log(x)+c)/x^4 となる。