微分方程式とは

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微分方程式とは

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微分方程式とは

独立変数 x の関数 y = y(x) およびその何階かの導関数を含む方程式を常微分方程式と言う。

たとえば

y' = sin(x) + 1

y' - (2 - y)y = 0

y" + y' + sin(y) = 0

y" - (1 - y²)y' + y = 0

などは常微分方程式である。

微分方程式の分類にその方程式の中に含まれる導関数の階数を用いることがある。 常微分方程式は、その中に含まれる導関数の最高階が n 階であるとき、 n 階常微分方程式という。

独立変数 x の関数 y = y(x) についての n 階常微分方程式は一般に

F(x, y , y', y", ... , yⁿ)      (1)

と表される。

このとき、実数のある集合上で定義された関数

y = y(x)

を、その導関数

y'(x), y"(x), ... , yⁿ

とともに式(1) に代入して得られる関係式

F(x, y(x), y'(x), y''(x), ... , yⁿ(x)) = 0

が、その定義域内の全ての点で成り立つとき、関数

y = y(x)

を微分方程式(1) の解という。 ただし、解となるためには少なくとも与えられた微分方程式の階数は、その定義領域で微分可能でなければならない。

微分方程式の解は存在するとは限らない。 たとえば

|y'| = -1

の解は存在しない。また

(y')² + y² = 0

にはただ一つの解

y = 0

しか存在しない。 一方、複数あるいは無限に多くの解が存在する場合がある。

一般に、 n 階微分方程式に対して n 個の任意定数を含む解が存在するとき、その解を一般解という。 したがって、一般解は独立変数 x の関数

y = y(x)

と任意定数

c₁, c₂, ... , c₁

の方程式として

φ(x, y, c₁, c₂, ... , c₁) = 0

の形で表される。

一般解の全ての任意定数に、ある特定の値を代入して得られる解を特殊解または特解という。