双曲線関数

目次


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双曲線関数

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sinh x=(ex-e-x)/2 で与えられる関数を

双曲線正弦関数(sine hyperbolic)といいます。

また cosh x=(ex+e-x)/2 で与えられる関数を

双曲線余弦関数(cosine hyperbolic)といいます。

その概形は


また tanh x=sinh x /cosh x で与えられる関数を

双曲線正接関数(tangent hyperbolic)といいます。

これらの関数は三角関数に性質がよく似ています。例えば

cosh2x-sinh2x=1 となります(計算してみて

ください)。 sinh にマイナスが付くことに注意してください。

また微分について(計算すればすぐに分かります)、

(sinh x)'=cosh x

(cosh x)'=sinh x

(tanh x)'=1/cosh2 x=sech2 x

がいえます。最後の sech は、双曲線正割関数(second hyperbolic function)というものです。

なぜこれだけ三角関数に似ているかというと、通常の三角関数について

sin x=(eix-e-ix)/(2i) 

cos x=(eix+e-ix)/2 

がいえるのです。ここでiは虚数単位です。

これらの式からiを取ったのが双曲線関数なのです。