微分法2

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微分法1

微分法2


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微分法2
関数の積の微分
2つの関数 f(x), g(x) とその導関数 f'(x), g'(x) が存在するとき、これらの関数の積
f(x)g(x)
を x について微分すると

    (f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

となります。

< 例 >
f(x) = sin x, g(x) = cos x
とすると、これらの関数の積
f(x)g(x) = sin x cos x
を微分すると
(f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) = cos2x - sin2x
となります。

有理関数の微分
関数 f(x)とその x による微分 f'(x) が存在するとき、 関数
1/f(x)
を x で微分すると

    -f'(x)/(f(x))2

となります。

< 例 >
f(x) = e^x
とすると、関数
1/f(x) = 1/ex
の x による微分は
(1/f(x))' = - f'(x)/(f(x))2 = -1/ex
となります。

関数の商の微分
関数 f(x), g(x) とそれぞれの導関数 f'(x), g'(x) が存在するとき、関数
f(x)/g(x)
の x による微分は有理関数の微分と関数の積の微分を使って

    (f'(x)g(x) - f(x)g'(x))/(g(x))2

となります。

< 例 >
f(x) = sin x, g(x) = ex
とすると、関数
f(x)/g(x) = sin x/ex
の x による微分は
(f(x)/g(x))' = (f'(x)g(x) - f(x)g'(x))/(g(x))2 = (cos x ex - sin x ex)/e2x
となります。